Курс посвящён изложению основных математических методов, которые используются в квантовой оптике. Рассматриваемые системы содержат несколько бозонов и фермионов. Гамильтонианы таких систем можно выразить через операторы некоторых конечномерных или бесконечномерных алгебр. Это позволяет находить их собственные функции и собственные значения чисто алгебраическими методами. Рассмотрен ряд конкретных моделей. Первые две лекции носят вводный характер, остальная часть спецкурса основана на работах, как самого автора, так и других учёных, работающих, или работавших в различные годы в ФИАНе: В.В. Додонова, В.И. Манько, О.В. Манько, В.П. Карасёва, А.Б. Климова, С. М. Чумакова, Л.А. Шелепина.
Программа спецкурса
(Каждый пункт программы соответствует одной лекции):
1. Двухуровневые системы. SU(2) – алгебры. Квазиспин. Вектор Блоха, сфера Блоха. Когерентные состояния. Сжатые состояния. Трёхуровневые системы. SU(3) – алгебры.
2. Уравнения Блоха, приближение вращающегося поля. Оператор эволюции. Линейный параметрический усилитель. Генерация второй гармоники. π-импульсы, решение Раби.
3. Модели с квадратичными гамильтонианами. Формула Бэйкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа.
4. Модель Джейнса-Каммингса. Коллапсы и ревайвлы.
5. Модель Дике. Кооперативные эффекты, сверхизлучение.
6. Уравнение Янга-Бакстера. Анзац Бете. Модели Годена. Трёх- и четырёхфотонное взаимодействие. Генерация второй гармоники.
7. Полиномиальные алгебры Карасёва. Нелинейные модели Карасёва-Климова.
8. Суперсимметричная модель Виттена. Суперсимметричная квантовая механика. Преобразования Дарбу. Парасуперсимметричная квантовая механика Рубакова-Спиридонова. Суперсимметрия и парасуперсимметрия в квантовой оптике. Фотонные кластеры. Операторы Брандта-Гринберга и Барнетта-Пегга.
9. Неравенства Белла. Проблемы их доказательства, интерпретации и проверки. Проблема существования скрытых переменных в квантовой механике.
Рекомендуемая литература:
1. Шляйх В.П., « Квантовая оптика в фазовом пространстве», МИР, 2005.
2. Мандель,Л., Вольф Э., «Оптическая когерентность и квантовая оптика», МИР, 2000.
3. Годен М., « Волновая функция Бете», МИР, 1987.
4. Боголюбов Н.М., Изергин А.Г., Корепин В.Е., « Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи», НАУКА, 1992.
5. Андреев А.В., Емельянов В.И., Ильинский Ю.А., « Кооперативные явления в оптике», НАУКА, 1988. 6. «Когерентные кооперативные явления», Труды ФИАН, т. 87, НАУКА, 1976.
